1. „müssen“

  Necessity (Notwendigkeit)

  Ich muss die E-Mail heute noch beantworten.

  I have to answer the email today. 

  Obligation (Pflicht)

  Wir alle müssen Steuern zahlen. 

  Everyone has to pay taxes. 

  The negation of müssen uses nicht brauchen zu

  Ich verdiene nichts, deshalb brauche ich keine Steuern zu zahlen.

  I don't earn anything, so I don't have to pay taxes.

2. „können“

  Ability through learning (Fähigkeit [etwas gelernt])

  Herr Kleinschmidt kann sehr gut kochen. (Er hat es schon gelernt.)

  Mr. Kleinschmidt can cook very well. (He has learned to cook.)

  Inability (Unfähigkeit/Unmöglichkeit mit Verneinung)

  Menschen können nicht fliegen. 

  Humans cannot fly. 

  Permission (Erlaubnis)

  Du kannst gerne früher gehen. 

  You may go home first. 

  Suggestions or polite requests (Vorschläge oder höfliche Bitten)

  Können Sie mich bitte mit Frau Kaiser verbinden?

  Could I please speak to Ms. Kaiser?

3. „wollen“

  Wish (Wunsch, Absicht oder Wille)

  Ich will mir ein neues Auto kaufen. 

  I want to buy a new car for myself. 

  Refusal with negation (Sich weigern mit Verneigung)

  Der kleine Bub will nicht in die Schule gehen.

  Little Bob does not want to go to school.

  „Möchten“ is the more polite form of „wollen“

4. „dürfen“

  Permission (Erlaubnis)

  Das 12-jährige Mädchen darf heute ins Kino gehen. 

  The 12-year-old girl is allowed to go to the cinema today.

  Prohibition with negation (Verbot mit Verneinung)

  In öffentlichen Gebäuden darf man nicht rauchen. 

  Smoking is not allowed in public buildings.

  Polite question (Höfliche Frage)

  Darf ich hier mal telefonieren?

  May I make a phone call here?

5. „sollen“

  Assignment (Auftrag)

  Ich soll heute länger arbeiten. (Mein Chef hat das gesagt.) 

  I am supposed to work longer today. (My boss said so.)

  Moral demand (Moralische Forderung)

  Man soll sich gegenseitig respektieren. 

  People should respect one another.

  Commandment/law (Gebot/Gesetz)

  Man soll nicht lügen. 

  One should not lie.

  Giving a recommendation or advice (Empfehlung oder Ratschlag)

  Du solltest mehr Sport treiben.

  You should exercise more.

6.  „mögen/möchten“

  Liking (Vorliebe)

  Ich mag essen, trinken und tanzen. 

  I like eating, drinking and dancing.

  Dislike (Abneigung)

  Den Hund meiner Nachbarin mag ich nicht. 

  I don't like the neighbor's dog.

  „möchten“ is the Konjunktiv 2 (subjunctive) form of „mögen“, used as a modal verb to express a wish. 

  Ich möchte hier essen. 

  I would like to eat here.

  „mögen“ is very rarely used as a modal verb nowadays; instead it is usually used as an ordinary verb (without a second verb).

  Ich mag dich.

  I like you.